A 28 éves kapus legutóbb a német Bundesliga 2-ben szereplő Greuther Fürth játékosa volt. Az ott töltött két szezonja során eleinte meghatározó embernek számított, csapatkapitánynak is megválasztották. 2017 őszén azonban megsérült, és utána már nem tudott visszakerülni a csapatba.
A görög bajnokság nem lesz Megyeri számára ismeretlen, 2010-ben a Ferencvárostól az Olympiakosz Pireuszba igazolt. Öt bajnoki címnek és három kupagyőzelemnek volt részese és védhetett a Bajnokok Ligájában is. Mivel egyre ritkábban védhetett, szerződése lejártával a spanyol Getafét választotta, de második számú kapusként, ott is csak kupameccsek jutottak neki.
A magyar válogatottban eddig egyszer szerepelt, Király Gábor búcsúmeccsén váltotta a nemzeti színektől elköszönő rekordert.
Az Atromitos legutóbb a negyedik helyen végzett, így indul az Európa Ligában, Megyeri július 28-án a Dinamo Breszt ellen a második selejtezőkörben mutatkozhat be.